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常用简写符号及常用向量公式1

第一章 向量场论8

§1 场的概念（Field）8

§2 梯度（Gradient）11

§3 散度（Divergence）15

§4 旋度（Rotation或Curl）16

§5 统一的高斯公式19

§6 算子运算22

§7 连续介质中的可变场24

§8 向量在电磁学中的应用27

1.1 张量的定义32

第二章 笛卡尔坐标系中的二阶张量32

§1 张量（Tensor）的基本概念32

1.2 张量的变换和它的不变量特征34

1.3 仿射正交变换的特征36

1.4 应力张量37

1.5 单位张量和共轭张量39

1.6 并矢40

§2 张量加法及张量与标量乘法41

2.1 运算法则41

2.2 对称张量和反对称张量42

2.3 张量的并矢表示43

2.4 张量的加法分解45

§3 张量与向量的乘法47

§4 张量与张量的乘法57

§5 对称张量的椭球面64

§6 主轴、主值及不变量66

§7 张量的散度73

§8 连续介质力学的基本方程75

第三章 笛卡尔坐标系中的高阶张量84

§1 高阶张量的定义84

§2 张量的乘积86

§3 张量对笛卡尔坐标的微分88

§4 商法则（Quotientrule）89

§5 各向同性张量91

§6 非各向同性介质的应力应变关系99

§7 几种特殊的各向异性材料的Hooke定律102

第四章 任意曲线坐标系108

§1 任意曲线坐标系的概念108

1.1 曲线坐标的引入108

1.2 基本规度张量114

1.3 任意曲线坐标系中的向量116

1.4 任意曲线坐标系中微分长度、面积和体积118

§2 坐标变换120

§3 任意曲线坐标系中向量的基本微分运算124

§4 几个曲线坐标系128

4.1 圆柱坐标系128

4.2 圆球坐标系131

4.3 椭圆双曲柱坐标系134

4.4 保角坐标系136

4.5 流线坐标系139

§5 理想气体动力学方程组141

第五章 任意曲线系下的张量及其代数运算145

§1 张量的定义145

1.1 向量空间与基底145

1.2 多重线性映射146

1.3 张量的定义148

1.4 张量的加法与数乘张量空间151

1.5 张量的外积、基底与整体表示153

§2 张量的不变量特性156

§3 度量张量与指标升降158

§4 置换张量与广义Kroneckerδ162

§5 张量的代数运算167

5.1 张量的缩并168

5.2 张量的内积172

5.3 张量的转置对称与反对称174

5.4 张量的矢积177

§6 张量的商法则180

第六章 二阶张量184

§1 二阶张量与矩阵184

§2 二阶张量与线性变换195

§3 二阶张量的基本不变量205

§4 二阶张量的特征值和标准化问题211

4.1 二阶张量的特征值问题的提法211

4.2 二阶张量特征值问题的一般讨论212

4.3 二阶张量的标准化问题214

4.4 对称张量的主轴、主值与标准型220

4.5 反对称张量的标准化及其对应的线性变换221

§5 正交张量与张量的极分解225

第七章 张量场的微分运算238

§1 张量场函数238

§2 张量在空间中的分布的描述导数与微分239

§3 曲线系下张量微分的特点244

§4 Christoffel符号246

§5 协变导数与协变微分253

§6 张量场的基本微分运算266

§7 曲率张量272

§8 物理方程在曲线系下的分量式278

习题282