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第一章 行列式1

学习提要1

考试要求1

本章知识框架图2

基础知识讲解3

一、行列式的概念3

（一）二阶行列式的概念3

（二）三阶行列式的概念3

（三）n阶行列式的相关概念3

二、行列式的性质4

三、行列式的计算5

（一）行列式按行（列）展开定理5

（二）递推法5

（三）归纳法5

（四）公式法5

典型例题与方法技巧6

题型1——利用概念与性质的计算6

题型2——二阶与三阶行列式的计算7

题型3——n阶行列式的计算8

题型4——含参数行列式的计算16

本章同步练习题16

一、选择题16

二、填空题17

三、解答题18

同步练习题答案解析19

一、选择题19

二、填空题20

三、解答题23

第二章 矩阵27

学习提要27

考试要求27

本章知识框架图28

基础知识讲解29

一、矩阵及其运算29

（一）矩阵的概念29

（二）几种特殊矩阵29

（三）有关矩阵的运算法则30

二、逆矩阵及其运算32

（一）逆矩阵的概念32

（二）有关逆矩阵的运算法则32

三、初等变换及矩阵的秩33

（一）初等变换33

（二）矩阵的秩34

四、分块矩阵及其运算35

（一）分块矩阵的概念35

（二）分块矩阵的运算法则35

典型例题与方法技巧36

一、矩阵及其运算36

题型1——概念及运算法则的相关应用36

题型2——方阵的幂37

题型3——矩阵的可交换性39

二、逆矩阵及其运算39

题型1——逆矩阵的计算及证明39

题型2——伴随矩阵的计算及证明41

题型3——矩阵方程43

三、初等变换及矩阵的秩45

题型1——利用初等变换求矩阵的秩45

题型2——利用初等变换求逆矩阵45

题型3——初等矩阵47

题型4——求矩阵的秩48

四、分块矩阵及其运算49

本章同步练习题50

一、选择题50

二、填空题51

三、解答题52

同步练习题答案解析53

一、选择题53

二、填空题55

三、解答题57

第三章 向量63

学习提要63

考试要求63

本章知识框架图64

基础知识讲解65

一、向量组的相关知识65

（一）向量65

（二）向量组65

二、向量空间的相关知识67

（一）相关概念（数一）67

（二）基变换公式和坐标变换公式（数一）67

（三）施密特正交化68

（四）正交矩阵及性质69

典型例题与方法技巧69

一、向量组的相关问题69

题型1——线性表示与线性相关69

题型2——向量组的等价问题72

题型3——向量组的极大线性无关组和秩的问题73

二、向量空间的相关问题75

题型1——过渡矩阵的相关问题（数一）75

题型2——正交规范化问题76

题型3——正交矩阵的证明问题（数一）76

本章同步练习题77

一、选择题77

二、填空题79

三、解答题79

同步练习题答案解析80

一、选择题80

二、填空题84

三、解答题86

第四章 线性方程组91

学习提要91

考试要求91

本章知识框架图92

基础知识讲解93

一、齐次线性方程组93

（一）向量表示93

（二）矩阵表示93

（三）解的性质94

（四）解的结构94

二、非齐次线性方程组95

（一）向量表示95

（二）矩阵表示95

（三）解的性质96

（四）求解步骤96

典型例题与方法技巧97

一、齐次线性方程组97

题型1——齐次线性方程组解的判定97

题型2——齐次线性方程组解的结构102

题型3——含参数的齐次线性方程组104

二、非齐次线性方程组104

题型1——非齐次线性方程组解的判定104

题型2——非齐次线性方程组解的结构106

题型3——含参数的非齐次线性方程组110

题型4——综合应用问题111

本章同步练习题113

一、选择题113

二、填空题115

三、解答题115

同步练习题答案解析116

一、选择题116

二、填空题119

三、解答题121

第五章 矩阵的特征值和特征向量127

学习提要127

考试要求127

本章知识框架图128

基础知识讲解129

一、特征值和特征向量129

（一）相关概念129

（二）相关性质129

（三）求解方法129

二、相似对角化130

（一）相似矩阵及相似对角化的概念130

（二）相似矩阵的性质130

（三）矩阵可相似对角化的条件131

（四）矩阵相似对角化的步骤131

三、实对称矩阵131

（一）实对称矩阵的概念131

（二）实对称矩阵的结论131

（三）实对称矩阵正交对角化的步骤132

典型例题与方法技巧132

一、特征值和特征向量132

题型1——具体型132

题型2——抽象型134

题型3——反求矩阵135

二、相似对角化136

题型1——相似对角化的判定136

题型2——求相似对角化的可逆矩阵137

题型3——相似对角化的相关应用138

三、实对称矩阵140

题型1——实对称矩阵的特征值和特征向量140

题型2——求实对称矩阵141

题型3——实对称矩阵的对角化142

本章同步练习题143

一、选择题143

二、填空题144

三、解答题145

同步练习题答案解析146

一、选择题146

二、填空题148

三、解答题149

第六章 二次型153

学习提要153

考试要求153

本章知识框架图154

基础知识讲解155

一、二次型及其标准形155

（一）二次型的相关概念155

（二）二次型的标准化155

（三）二次型标准化定理156

（四）矩阵的合同157

二、正定二次型157

（一）正定二次型及正定矩阵的概念157

（二）正定二次型或正定矩阵的判别定理157

（三）正定矩阵的性质158

典型例题与方法技巧158

一、二次型及其标准形158

题型1——相关概念的考查158

题型2——化二次型为标准形158

题型3——二次型的含参问题160

题型4——二次型的合同161

二、正定二次型162

题型1——正定二次型及正定矩阵的相关概念162

题型2——二次型正定性的判定163

题型3——正定矩阵的相关问题164

本章同步练习题165

一、选择题165

二、填空题166

三、解答题167

同步练习题答案解析167

一、选择题167

二、填空题169

三、解答题171