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第1章 数学背景1

1.1 数论1

1.1.1 模运算1

1.1.2 素数3

1.1.3 最大公因子3

1.2 域表示4

1.2.1 有限域 Fp4

1.2.2 有限域 F2m5

1.2.3 用 ONB 表示的 F2m 中元素的乘积7

1.3 不可约多项式和本原多项式的判定11

1.4 复杂性理论13

1.4.1 算法与问题13

1.4.2 算法复杂性14

1.4.3 问题复杂性15

第2章 RSA 公钥密码18

2.1 RSA 加密算法18

2.2 RSA 签名算法20

2.3 RSA 公钥密码的安全性及攻击 RSA 公钥密码的一些典型方法21

2.3.1 RSA 公钥密码的安全性21

2.3.2 攻击 RSA 公钥密码的一些典型方法22

2.4 素性检测26

2.4.1 Fermat 素数28

2.4.2 Solovay-Strassen 素性检测29

2.4.3 Miller-Rabin 素性检测30

2.4.4 Mensenne 数的素性检测32

2.4.5 利用 n-1的因子分解进行素性检测34

2.4.6 Jacobi 和检测36

2.4.7 椭圆曲线素性证明36

2.4.8 强素数36

2.5 因子分解算法38

2.5.1 试除法39

2.5.2 Pollard-ρ 因子分解算法40

2.5.3 Pollard p-1因子分解算法42

2.5.4 椭圆曲线因子分解算法44

2.5.5 随机平方因子分解算法44

2.5.6 连分式因子分解算法46

2.5.7 二次筛法49

2.5.8 数域筛法51

2.6 RSA 公钥密码的实现52

2.6.1 RSA 公钥密码的建立52

2.6.2 模算术运算54

2.7 参考与注记65

3.1 离散对数问题68

第3章 ElGamal 公钥算法68

3.2 ElGamal 加密算法69

3.3 ElGamal 签名算法72

3.4 离散对数算法73

3.4.1 穷尽搜索73

3.4.2 baby-step giant-step 算法73

3.4.3 Pollard-ρ因子分解算法75

3.4.4 Pohlig-Hellman 算法78

3.4.5 index-calculus 算法80

3.5.1 选取素数 p 和 Z*p 的生成元85

3.5 ElGamal 密码算法的实现85

3.5.2 模运算86

3.6 参考与注记86

第4章 椭圆曲线公钥密码88

4.1 椭圆曲线上的基本运算88

4.1.1 Fp 上的椭圆曲线88

4.1.2 F2m 上的椭圆曲线91

4.2 椭圆曲线公钥密码简介94

4.2.1 椭圆曲线上的离散对数问题94

4.2.2 椭圆曲线公钥密码的攻击现状95

4.2.3 椭圆曲线公钥密码算法96

4.3.1 系统的参数选取102

4.3 椭圆曲线公钥密码的实现102

4.3.2 椭圆曲线上的快速算法108

4.4 参考与注记116

第5章 背包加密算法和其他公钥密码117

5.1 Merkle-Hellman 背包加密算法117

5.1.1 多重迭代 Merkle-Hellman 背包加密算法120

5.1.2 Merkle-Hellman 背包加密算法的不安全性120

5.2 Chor-Rivest 背包加密算法121

5.2.1 Chor-Rivest 公钥加密算法的实现125

5.2.2 Chor-Rivest 公钥加密算法的安全性125

5.3.1 L3-格基约简算法126

5.3 背包公钥加密算法的破译126

5.3.2 子集和问题的解129

5.4 Diffie-Hellman 公钥算法131

5.4.1 三方或多方情况下的 Diffie-Hellman 密钥交换协议132

5.4.2 算法的实现133

5.5 Rabin 公钥加密算法133

5.5.1 Rabin 公钥加密算法的安全性135

5.5.2 Rabin 公钥加密算法的实现136

5.6 McEliece 公钥加密算法136

5.7 LUC 公钥算法138

5.8 参考与注记139

参考文献140